Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной. Производная от фун­кции у = f(x) при равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , т. е.

(2)

где угол между касательной к графику функции у = f(x) в точке и положительным направлением оси Ох.

Физический смысл производной. Для функции у = f(x), определенной и непрерывной в точке , отношение есть средняя скорость изменения функции за промежуток , а есть мгновенная скорость ее изменения в точке .

Таким образом, производная от фун­кции у = f(x) – математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого данной функцией. В зависимости от содержания можно получить различные математические модели скорости протекания физических, химических и других процессов.

Например, пусть материальная точка М движется неравномерно и у = s(t) – функция, устанавливающая зависимость пути от времени t. Тогда мгновенная скорость v движения в момент времени есть производная от пути s по времени t:

_{Рассмотрим еще один пример. Пусть u=u(t) функция, которая выражает количество} произведенной продукции u за время t. Отношение есть средняя производительность труда за период времени . Тогда производительность труда z в момент времени есть производная объема произведенной продукции u по времени t:

Последний пример иллюстрирует экономический смысл производной.