Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида и .

Теорема 5 (правило Лопиталя – Бернулли). Если функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) определены и дифференцируемы на интервале (а, b), за исключением, быть может, точки , причем и ;

2) ;

3) существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных

;

тогда существует также предел отношения функций , причем

Правило Лопиталя справедливо и в случае .

Замечание. Если отношение в свою очередь представляет собой неопределенность вида или , и производные и удовлетворяют условиям теоремы, то правило Лопиталя можно применить второй раз, т. е.

Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.