Определение производной

Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное, и также принадлежит окрестности точки ), то приращение функции определяется выражением

Определение 1. Производной функции у = f(x) в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции у = f(x) в точке обозначается:

Таким образом,

(1)

Производная функции у = f(x) в произвольной точке x обозначается:

При каждом конкретном числовом значении x производная функции у = f(x) (если она существует при данном x) есть некоторое число. Значениям переменной x ставятся в соответствие определенные значения переменной . Следовательно, производная данной функции есть некоторая функция аргумента x.

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.