Производная по направлению, градиент функции

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки М, а l – некоторое направление, задаваемое единичным вектором , где – углы, образуемые вектором с осями координат.

При перемещении в данном направлении l точки М в точку функция z = f(x; y) получит приращение

которое называется приращением функции f(x; y) в данном направлении l.

Определение 12. Производной по направлению l функции двух переменных z = f(x; y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине приращения , при стремлении последней к нулю, т.е.

(7)

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении l.

Очевидно, что рассмотренные ранее частные производные и представляют собой производные по направлениям, параллельным соответственно осям Ox и Oy.

Можно показать, что

. (8)

Рассмотрим понятие градиента функции z = f(x; y).

Определение 13. Градиентом функции z = f(x; y) называется вектор с координатами Обозначается:или.

Рассмотрим скалярное произведение вектора и единичного вектора , получим

. (9)

Сравнивая равенства (8) и (9), получим, что

,

т.е. производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора , задающего направление l.

Известно, что скалярное произведение максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Зная градиент функции в каждой точке, можно локально строить линии уровня. Имеет место следующая

Теорема 3. Пусть задана дифференцируемая функция z = f(x; y) и пусть в точке

величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.