Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограни­ченно приближается точка кривой при неограниченном уда­лении ее от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными (горизонтальными).

Определение 8. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности, т.е. или .

Очевидно, что непрерывные на R функции вертикальных асимптот не имеют; такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода функции y = f(x).

Определение 9. Прямая y=kx+b называется наклонной (если k=0 – горизонтальной) асимптотой графика функции y = f(x) при (), если функцию f(x) можно представить в виде , где .

Теорема 11. Для того чтобы график функции y = f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:

. (13)

Замечание. При нахождении наклонных асимптот графика функции возможны следующие случаи: 1) оба предела (13) существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая y=kx+b называется двусторонней асимптотой; 2) оба предела (13) существуют, но при и при они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты; 3) если хотя бы один из пределов (13) не существует, то наклонных асимптот нет.