Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики

Дифференциальные уравне­ния находят достаточно широкое применение в моделях экономической дина­мики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.

Рассмотрим некоторые простейшие задачи макроэкономической динамики.

Задача 1. Пусть y=y(t) – объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Предположим, что цена на дан­ный товар остается постоянной (в пределах рассматриваемого про­межутка времени). Тогда функция y=y(t) удовлетворяет уравнению

, (20)

где , m – норма инвестиций, p – продажная цена, l – коэф­фициент пропорциональности между величиной инвестиций и скоро­стью выпуска продукции.

Уравнение (20) является уравнением с разделяющимися перемен­ными. Его решение имеет вид

,

где .

Предположение о неизменности цены (о ненасыщаемости рын­ка) на практике оказывается справедливым лишь для узких вре­мен­ных интервалов.

В общем случае цена р является убывающей функцией от объема у реализованной продукции . Тогда уравнение (20) прини­мает вид

. (21)

Это уравнение является тоже уравнением с разделяющимися перемен­ными.

Замечнание. Уравнение (20) описывает также рост народонаселения, динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоктивного распада и  др. Уравнение вида (21) описывает рост народонаселения при наличии (естественных) ограничений для этого роста, динамику разви­тия эпидемий, процесс распространения рекламы и т. д.

Задача 2. Доход Y(t), полученный к моменту времени t некоторой отраслью, является суммой инвестиций I(t) и величины потребления С(t), т. е.

. (22)

Будем предполагать, что скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т. е.

, (23)

где b – коэффициент капиталоемкости прироста дохода.

Рассмотрим поведение функции дохода Y(t) в зависимости от функции С(t).

Пусть С(t) представляет фиксированную часть получаемого дохода: , где m – норма инвестиций. Тогда из уравнений (22) и (23) получаем

,

Что равносильно уравнению (20) при p=const.

В ряде случаев вид функции потребления С(t) бывает известен (из некоторых дополнительных соображений).