Предел последовательности

Определение 13. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что для всех n > N члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .

В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и пишут:

Таким образом,

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела, – расходящейся.

Неравенство равносильно неравенству .

Определение 14. Интервал вида , где называется -окрестностью или просто окрестностью точки а числовой оси.

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых n>N, попадут в -окрестность точки.

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а содержатся почти все члены этой последовательности, а вне окрестности может оказаться лишь конечное их число.

Теорема 1. Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами:

1. сходящаяся последовательность может иметь только один предел;

2. сходящаяся последовательность ограничена (обратно: всякая ограниченная монотонная последовательность сходится);

3. если последовательности и сходятся к числам a и b соответственно, т. е. , то

.

Определение 15. Последовательность называется бесконечно большой, если

При этом последовательность называется положительной бесконечно большой, если и отрицательной бесконечной большой, если .

Определение 16. Последовательность называется бесконечно малой, если