Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

, (16)

где p и q – вещественные числа.

Можно показать, что при определенных условиях функция , где k –некоторое число, является решением уравнения (16). Действительно, подставляя функцию и ее производные в уравнение (16), получим

Сокращая обе части этого равенства на , получаем квадратичное уравнение относительно k

. (17)

Уравнение (17) называется характеристическим уравнением для уравнения (16). Заметим, что если число является корнем уравнения (17), то функция есть решение однородного уравнения (16). Таким образом, в зависимости от корней и характе­ристического уравнения (17) получаем общее решение уравнения (16). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3. 1. Если корни характеристического уравнения (17) различные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

2. Если корни уравнения (17) равные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

3. Если корни уравнения (17) комплексные, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

.