Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Ранее мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования а и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний x изменять так, чтобы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела x.

Найдем производную от Ф(x) по x, т. е. производную определенного интеграла по верхнему пределу.

Теорема 4. Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.