Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 12. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(15)

где y – искомая функция, а , и – известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, b).

Если , то уравнение (15) называется линейным однородным уравнением. Если же функция не равна тождественно нулю, то уравнение (15) называется линейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (15) относительно второй производной, то легко видеть, что оно является частным случаем уравнения и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (11) это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим частный случай уравнения (15), когда функции и – постоянные величины, т. е.

Уравнение такого вида называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.