Полный дифференциал и его применение при приближенных вычислениях

Определение 10. Полным дифференциалом функции z = f(x; y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

(3)

Для функций f(x; y)=x и g(x; y)=y согласно формуле (3) имеем: . С учетом этого формулу (3) для дифференциала функции z = f(x; y) можно переписать в виде:

(4)

или

()

где – частные дифференциалы функции z = f(x; y).

Определение 11. Функция z = f(x; y) называется дифференцируемой в точке (x; y), если ее полное приращение можно представить в виде:

(5)

где – бесконечно малые при .

Замечание. Отметим, что для функции одной переменной y= f(x) существование конечной производной и представление приращения функции в виде: , являются равнозначными утверждениями, поэтому любое из них можно брать за определение дифференцируемости функции. Для функции нескольких переменных дело обстоит иначе: существование частных производных является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции.

Следующая теорема выражает достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.

Теорема 2. Если частные производные функции z = f(x; y) существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

Из формулы (5) следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство:

Подставляя выражения для из формулы (1) и для из формулы (3), получим

(6)

Формула (6) применяется для приближенных вычислений значений функций.