Основные понятия. Сходимость ряда

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел соединенных знаком сложения:

(1)

Числа называются членами ряда, а член – общим или n-м членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен его общий член , т.е. задана функция f(n) натурального аргумента.

Рассмотрим суммы конечного числа членов ряда:

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда.

Определение 2. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т. е.

(2)

Число S называется суммой ряда.

Если же не существует или , то числовой ряд называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Свойства рядов

1. Если ряд сходится и имеет сумму S, то и ряд (полученный умножением каждого его члена на число ) также сходится и имеет сумму .

2. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и , то и ряд (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна .

3. Если ряд сходится (расходится), то сходится (расходится) и ряд, полученный из данного путем отбрасывания любого конечного числа его членов.

Определение 3. Ряд

, (3)

полученный из ряда (1) отбрасыванием его первых n членов, называется n-м остатком ряда.

Ряд (1) получается из остатка (3) добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству (3), ряд (1) и его остаток (3) сходятся и расходятся одновременно.

Из свойства (3) также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток стремится к нулю при , т. е. .