Однородные дифференциальные уравнения

Определение 7. Функция называется однородной функцией степени n относительно переменных x и у, если при любом справедливо тождество

Определение 8. Уравнение первого порядка

(4)

называется однородным относительно x и y, если функция есть однородная функция нулевой степени относительно переменных x и у.

Замена т. е. y=ux приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Замечание 1. Уравнение является однородным, если и однородные функции одной и той же степени. Это следует из того, что отношение двух однородных функций одной и той же степени является однородной функцией степени нуль.

Замечание 2. К однородным уравнениям приводятся уравнения вида . Это достигается линейной заменой , где – координаты очки пересечения прямых и . Если же указанные прямые не пересекаются, то в этом случае уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены .