Основные свойства неопределенного интеграла

Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Доказательство.

Пусть Тогда

и

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

Доказательство.

Действительно, .

3. Постоянный множитель a () можно выносить за знак неопределенного интеграла:

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

5. Если F(x) – первообразной функции f(x), то

Доказательство.

Действительно,

6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:

где u – дифференцируемая функция.

Таблица основных неопределенных интегралов

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответствующих формул дифференцирования. Другими словами, таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производных элементарных функций при обратном ее чтении (справа налево).

Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может означать как независимую переменную (u=x), так и функцию от независимой переменной (u=u(x)).)

Интегралы 1–12 называются табличными.

Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.