Основные методы вычисления определенного интеграла

1. Вычисление интегралов с помощью Ньютона – Лейбница.

Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a, b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона – Лейбница

Эта формула позволяет свести вычисление определенного интеграла к вычислению неопределенного.

2. Замена переменной (подстановка) в определенном интеграле.

Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема 6. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция и ее производная непрерывны на отрезке , причем и , то справедлива формула

(7)

Формула (7) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Для вычисления определенного интеграла по этой формуле необходимо сделать замену , вычислить , где – некоторая непрерывно дифференцируемая функция, найти пределы интегрирования по t, решив уравнения .

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 7. Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то имеет место формула

(8)

Формула (8) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.