Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициента­ми имеет вид

(18)

Теорема 4. Общее решение неоднородного уравнения (18) состоит из суммы его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Таким образом, общее решение уравнения (18) находится по формуле

, (19)

где – общее решение соответствующего однородного уравнения

,

а – частное решение неоднородного уравнения (18).

Укажем способы нахождения частного решения в случае, когда правая часть уравнения (18) имеет специальный вид.

1. Если

,

где – многочлен степени n, тогда частное решение будем искать в виде

,

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами; r=0, если не является корнем характеристического уравнения; если же является корнем характеристического уравнения, то r равно кратности этого корня.

2. Если

,

где – многочлены степени n и m соответственно, тогда частное решение будем искать в виде

,

где – многочлены степени с неопределенными коэффициентами; r=0, если не является корнем характеристического уравнения; если же является корнем характеристического уравнения, то r равно кратности этого корня.