Производные высших порядков явно заданной функции

Рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию у=f(х). Производная от функции у=f(х) является также функцией от x и называется производной первого порядка. Предположим, что и функция дифференцируема.

Определение 3. Производной второго порядка или второй производной функции у = f(x) называется производная от ее первой производной и обозначается: , , .

Таким образом,

Аналогично производной третьего порядка или третьей производной функции у = f(x) называется производная от ее второй производной и обозначается: , , .

Таким образом,

Производной n-го порядка или n-й производной функции у = f(x) называется производная от производной (n-1)-го порядка:

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначаются римскими цифрами или числами в скобках.

Вторая производная имеет простой физический смысл. Пусть s=s(t) – закон движения материальной точки, тогда первая производная определяет скорость движения . Вторая производная есть скорость изменения скорости движения, т. е. ускорение .