Линейные уравнения. Уравнения я. Бернулли

Определение 9. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

(5)

где , – заданные непрерывные функции от x , в частности – постоянные.

Если , то уравнение (5) называется линейным однородным уравнением; если же функция не равна тождественно нулю, то уравнение (5) называется линейным неоднородным уравнением.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Рассмотрим однородное уравнение

Его общее решение имеет вид . Решение исходного уравнения (5) ищется в виде:

(6)

_{Подставляя (6) в (5), для определения} получим уравнение . Откуда

(7)

где С – произвольная постоянная. Подставляя из (7) в (6), находим общее решение уравнения (5):

(8)

Метод Бернулли. Решение уравнения (5) ищется в виде , где и – неизвестные функции от x, причем одна из них произвольна, но не равна нулю. Действительно, любую функцию можно представить в виде

Тогда . Подставляя y и в (5), имеем

или

Подберем так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим уравнение . В виду свободы выбора функции , среди множества решений этого уравнения выберем решение . Тогда находим из уравнения

т. е. где С – произвольная постоянная. Перемножая и , находим решение (8).

Определение 10. Уравнением Бернулли называется уравнение вида

(9)

При n=0 получаем линейное уравнение, при n=1 – уравнение с разделяющимися переменными.

Уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению заменой Однако на практике решения уравнения Бернулли удобней искать в виде , не приводя его к линейному уравнению.