Рациональные дроби

Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. всякая дробь вида

Определение 4. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. n<m; в противном случае (если ) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

где – многочлен-частное (целая часть) дроби ; – остаток (многочлен степени n<m).

Так как интегрирование многочлена не представляет затруднений, то интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Определение 5. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

Здесь A, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е.

Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

(4)

где – некоторые действительные числа.

Для нахождения коэффициентов разложения (4), чаще всего применяют методы неопределенных коэффициентов и частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов

Суть метода такова: в правой части равенства (4) приведем дроби к общему знаменателю и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену .

Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях x этих многочленов были равны. Учитывая это приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему m линейных уравнений для нахождения m неизвестных коэффициентов .

Метод частных значений

При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x, можно придать переменной x несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать x равным каждому из корней знаменателя.

Замечание. Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т. е. придавать x ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях x.