Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры.

1. Рассмотрим на плоскости Oxy криволинейную трапецию, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функцией y=f(x), снизу отрезком [a, b] и по бокам вертикальными прямыми x=a, x=b.

Величина площади криволинейной трапеции, равна определенному интегралу от функции y=f(x) на отрезке [a, b]:

(9)

2. Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(x) соответственно, непрерывными на отрезке [a, b], то площадь S, криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(x):

(10)

Объем тела вращения.

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [a, b] функцией y=f(x). Объем этого тела вращения определяется формулой:

(11)

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая x через y как обратную функцию, получаем аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

(12)