Первообразная функции и неопределенный интеграл

В интегральном исчислении основной задачей является нахождение функции y= f(x) по ее известной производной .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство: или .

Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).

В дальнейшем будем рассматривать непрерывные на отрезке функции.

Теорема 2. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на интервале (a, b), то множество всех первообразных задается формулой F(x)+С, где С – постоянное число.

Доказательство.

Функция F(x)+С является первообразной функции f(x), так как .

Пусть Ф(x) – другая, отличная от F(x) первообразной функции f(x), т. е. . Тогда имеем

а это означает, что

,

где С – постоянное число. Следовательно,

Определение 2. Множество всех первообразных функций F(x)+С для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом .

Таким образом, по определению

(1)

В формуле (1) f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Оy.