Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия)

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

(10)

Будем рассматривать уравнения, которые можно разрешить относительно , т. е. представить в виде

.

Для уравнения справедлива теорема, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка.

Теорема 2 (теорема Коши). Если в уравнении

функция и ее частные производныеи непрерывны в некоторой области D пространства переменных, содержащего некоторую точку , то существует единственное решение этого уравнения

,

удовлетворяющее условиям:

. (11)

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что через заданную точку на координатной плоскости Oxy проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

Условия (11) называют начальными условиями, а задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Определение 10. Общим решением уравнения называется функция , где – не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющие условиям:

1. является решением уравнения для каждого фиксированного значения ;

2. каковы бы ни были начальные условия , существуют единственные значения постоянных такие, что функция является решением уравнения и удовлетворяет начальным условиям.

Определение 11. Всякое решение уравнения , получающегося из общего решения при конкретных значениях постоянных , называется частным решением.

Решения дифференциального уравнения , записанные в виде

назывются общим и частным интегралом соответственно.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения представляет собой множество интегральных кривых; частное решение – одну интегральную кривую этого множества, проходящую через точку и имеющую в ней касательную с заданным угловым коэффициентом .