Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

.

2. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

.

3. Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов интегрирования и от вида подынтегральной функции, он не зависит от переменной интегрирования. Поэтому величина определенного интеграла не изменится, если переменную x заменить любой другой переменной:

4. Если , то

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

7. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство:

8. Если , то , т. е. неравенство можно интегрировать.

9. Если функция непрерывна и ограничена на отрезке [a, b], т. е. , то

10. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то существует такая точка , что

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке c отрезка интегрирования [a, b] и длины b–a этого отрезка.

Это значение функции называется средним значением на отрезке [a, b].