Понятие экстремума

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции y = f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех x () из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) функции называется максимумом (минимумом) данной функции.

Максимум (минимум) функции называется экстремумом этой функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.

Теорема 7 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в некоторой окрест­ности точки и имеет в этой точке экстремум, то ее произ­водная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, в которых производная функции y = f(x) обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или точками возможного экстремума. Точки, в которых производная функции y = f(x) обращается в нуль, называются стационарными.

Теорема 8 (достаточное условие экстремума). Пусть – критическая точка непрерывной функции y = f(x). Если при переходе через точку меняет свой знак с «+» на «–», то – точка максимума; если при переходе через точку меняет свой знак с «–» на «+», то – точка минимума.

Замечание. Экстремум функции называется также локальным экстремумом, в отличие от глобального экстремума – наибольшего (наименьшего) значения, которое функция может принимать в области ее определения. Чтобы найти глобальный экстремум функции y = f(x), заданный на отрезке [a; b], нужно сравнить значения f(a), f(b) с ее значениями в точках возможного экстремума на [a; b] и выбрать наибольшее (наименьшее) из них.