Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

1.

2.

3.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Сделаем подстановку , откуда На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

(2)

Формула (2) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда целесообразно выбирать подстановку , тогда

Другими словами, формулу (2) можно применять справа налево.

Интегрирование по частям.

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда Интегрируя это равенство, получим

или

(3)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым, чем исходный.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида , где – многочлен степени n, а k – некоторое число. Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить и применить формулу (3) n раз.

2. Интегралы вида где – многочлен степени n. Чтобы найти эти интегралы, нужно применить формулу (3), принимая за u функцию, являющуюся множителем при .

3. Интегралы вида (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.