Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 6. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Отметим, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в которой один сомножитель зависит только от x, а другой – только от у. Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Он состоит в следующем:

Умножим обе части уравнения (3) на dx и одновременно поделим обе его части на (предполагая, что ):

Считая y известной функцией от x, равенство можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым. Интегрируя левую часть по y, а правую по x, получим:

Мы получили соотношение, связывающее решение у, независимую переменную x и произвольную постоянную С, т. е. получили общий интеграл уравнения (3).

Замечание. Уравнение вида приводится к уравнениям с разделяющимися переменными заменой .