Формула Тейлора

Пусть функция f имеет в некоторой окрестности точки производные до n-го порядка включительно. Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство:

где называется остаточным членом. В курсе математического анализа доказывается, что . Такой остаточный член называется остаточным членом в форме Пеано. Тогда последнее равенство можно переписать в виде:

(11)

Полученная формула разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Тейлора.

В частности, при формула (11) примет вид:

(12)

Формула разложения функции по степеням x с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Маклорена.

Таким образом, поведение любой n раз дифференцируемой функции в окрестности точки (в частности, ) можно описать многочленом достаточно точно, а при со сколь угодно высокой степенью точности.