Частные производные первого и высших порядков

Рассмотрим функцию z = f(x; y), определенную на некотором множестве D, и возьмем точку . Придадим аргументам функции z = f(x; y) приращения оставаясь при этом в области определения. Значение функции в точке будет равно . Разность между значениями функции в точках и называется полным приращением функции и обозначается , т.е.

(1)

Частным приращением функции по аргументу x называется величина

Частным приращением функции по аргументу y называется величина

Определение 8. Частной производной функции z = f(x; y) по переменной x (переменной y) в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения частного приращения функции по x (по y) к приращению соответствующего аргумента при стремлении последнего к нулю.

Обозначается символами , или , или (, или, или ).

Таким образом,

. (2)

Замечание. Частная производная функции двух переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии, что другая переменная остается постоянной. Поэтому для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Геометрический смысл частной производной функции z = f(x; y) в точке . Пусть график функции z = f(x; y) представляет собой некоторую поверхность. Тогда при получаем кривую – сечение этой поверхности соответствующей плоскостью. В этом случае выражает угловой коэффициент касательной к кривой , в заданной точке , т. е. , где – угол наклона касательной к оси Ox. Аналогично , где – угол наклона касательной к оси Oy.

Частные производные и функции z = f(x; y) называются частными производными первого порядка. В свою очередь их можно рассматривать как функции от двух переменных x и y. Эти функции могут иметь также частные производные, которые будем называть частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Определение 9. Частная производная второго и более высокого порядков, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной.

Например, – смешанные частные производные второго порядка.

Теорема 1. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для z = f(x; y) имеем: