Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Если ищется экстремум функции z = f(x; y), при условии, что ее аргументы связаны между собой уравнением (уравнением связи), то говорят об условном экстремуме. Для отыскания условного экстремума воспользуемся мето­дом неопределенных множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции z = f(x; y) при наличии уравнения связи , составим функцию Лагранжа

где – неопределенный постоянный множитель, и найдем обычный экстремум этой вспомогательной функции.

Необходимые условия экстремума функции сводятся к системе трех уравнений

с тремя неизвестными , из которой можно найти эти неизвестные. Таким образом, решения системы есть стационарные точки функции Лагранжа.

Затем вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала

в стационарной точке функции Лагранжа, при ус­ловии, что и связаны соотношением

Функция z = f(x; y) имеет условный максимум, если и услов­ной минимум, если . В частности, если дискриминант для функции в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f(x; y), если А<0, и условный минимум, если А>0.

Задача нахождения условного экстремума используется при решении таких экономических задач, как нахождение оптимального распределения ресурсов, выбор оптимального портфеля ценных бумаг и др.