Предел функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки .

Дадим определение конечного предела функции y=f(x) при на языке последовательностей (по Гейне).

Определение 18. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке , если для любой последовательности точек (), сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается: .

_{Таким образом,}

Геометрический смысл предела функции означает, что для всех x, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Из определения 18 следует, что функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Замечание. Определение 18 предела функции y=f(x) для случая, когда аргумент перепишется в виде:

Дадим еще одно определение конечного предела функции при на языке «» (по Коши).

Определение 19. Число A называется пределом функции y=f(x) в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Таким образом, .

Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны.

Геометрический смысл определения конечного предела состоит в следующем: для любой -окрестности точки А найдется -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции y=f(x) попадут в -окрестность точки А, т.е. точки графика функции y=f(x) будут заключены в полосе .

Замечание. Для случая, когда аргумент в определении 19 вместо пишут , т.е.

Если , то пишут , если , то пишут .

Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) в точке имеют конечные пределы, т.е. , то

.

Эта теорема верна для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Теорема 3. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки), и для всех х () из этой окрестности выполняется: и , тогда .