Определение и геометрический смысл дифференциала

Определение 2. Дифференциалом функции y = f(x) называется произведение производной этой функции на приращение аргумента и обозначается или , т.е.

. (7)

Дифференциал называется еще дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции :

(8)

т. е. дифференциал и приращение независимой переменной равны.

Формулу (7) с учетом (8) можно переписать в виде:

(9)

Другими словами, дифференциал функции y = f(x) равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из последнего равенства, имеем: . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Геометрический смысл дифференциала функции: дифферен­ци­ал функции равен приращению ординаты касательной к графи­ку данной функции, когда аргумент получает приращение .

Из определения производной, дифференциала функции y = f(x) и теоремы 4 (о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции) следует

т. е. приращение функции отличается от ее дифференциал на бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с . Следовательно, при малых значениях приращения аргумента приращение функции можно приближенно заменить ее дифференциалом

.

Таким образом, при справедлива приближенная формула

откуда получаем

(10)

Формула (10) используется для вычислений приближенных значений функций.

Правила нахождения дифференциала

Если u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции, С – постоянная величина, тогда