Экстремум функции нескольких переменных

Определение 14. Точка называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки , такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности, выполняется неравенство

В определении речь идет о локальном экстремуме (максимуме и минимуме) функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки .

Теорема 4 (необходимое условие экстремума). Пусть точка – точка экстремума дифференцируемой функции z = f(x; y). Тогда частные производные функции в этой точке равны нулю, т. е.

Замечание. Функция может иметь экстремум и в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.

Определение 15. Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f(x; y) равны нулю, т. е. называется стационарной точкой функции.

Определение 16. Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.

Теорема 5 (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке и некоторой ее окрестности функция z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке значения . Обозначим:

Тогда:

1) если , то функция z = f(x; y) имеет в точке экстремум: максимум, если A<0 и минимум, если A>0.

2) если , то функция z = f(x; y) в точке экстремума не имеет;

3) если , экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.