Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Определение 6. График дифференцируемой функции y = f(x) называется выпуклым вниз (выпуклым вверх) на интервале (а, b), если он целиком расположен выше (ниже) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Определение 7. Точка графика дифференцируемой функции y = f(x), в которой направление выпуклости меняется на противоположное, называется точкой перегиба.

Интервалы выпуклости вниз и вверх находятся с помощью следующей теоремы.

Теорема 9. Если функция y = f(x) во всех точках интервала (а, b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. , то график функции на этом интервале выпуклый вверх. Если же , то график функции выпуклый вниз.

Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая

Теорема 10 (достаточное условие существования точек перегиба). Если для функции y = f(x) вторая производная в некоторой точке равна нулю или не существует и при переходе через нее меняет свой знак, то точка является точкой перегиба графика функции.