Определенный интеграл

К понятию определенного интеграла приводит задача отыскания площади криволинейной трапеции. Фигуру, ограниченную графиком положительно определенной функции y=f(x), вертикальными прямыми x=a, x=b и осью Ox назовем криволинейной трапецией.

Для нахождения площади криволинейной трапеции отрезок [a, b] разобьем на n частей точками

На каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку z_к и построим прямоугольник с основанием и высотой . Площадь этого прямоугольника будет равна . Таких прямоугольников, покрывающих площадь криволинейной трапеции, будет n штук. В результате такого построения получим «ступенчатую» фигуру, площадь которой будет равна

Величина

называется интегральной суммой функции на отрезке [a, b] .

Будем теперь увеличивать число n делений отрезка [a, b]. Тогда «ступенчатая» фигура будет все меньше отклоняться от криволинейной трапеции. Обозначим за длину наибольшего из частичных отрезков, т. е. . При число частичных отрезков будет неограниченно увеличиваться, а их длины будут стремиться к нулю.

Пусть предел интегральной суммы при существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек z_к, тогда он принимается за площадь криволинейной трапеции и называется определенным интегралом, т.е.

(5)

Если указанный предел существует и конечен, то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, x – называется переменной интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Замечание. Непрерывность функции на отрезке [a, b] является достаточным условием ее интегрирования. Однако требования к функции можно ослабить. Если функция ограничена на отрезке [a, b] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема. В дальнейшем будем считать подынтегральную функцию непрерывной.