III уровень

Задачи, направленные на развитие воображения, мышления и речи

1. Дан квадрат. На нем, как на основании, по разные стороны построены куб и пирамида. Сколько ребер, вершин и граней в полученном многограннике?

2. Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней имеет полученный многогранник?

3. Какие фигуры можно получить в сечении куба плоскостью, проходящей через: а) одно из его ребер; б) одну из его диагоналей; в) через одну из его вершин?

4. Сколькими способами можно получить в сечении куба квадрат?

5. Объясните, как можно построить наклонную призму, у которой высота лежит в боковой грани?

6. Является ли призма прямой, если у нее: а) высота совпадает с одним из боковых ребер; б) одна из боковых граней – прямоугольник; в) углы одного из оснований служат линейными углами двугранных углов при боковых ребрах?

7. Является ли призма правильной, если у нее: а) все плоские углы равны; б) все боковые грани – квадраты; в) все ребра равны?

8. В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна площади сечения, проведенного через высоту и боковое ребро. Какой должна быть высота этой пирамиды?

Замечание. При ответе на вопрос учащиеся дают соответствующие пояснения.