Задание 6

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Подготовительный этап.

Практическая работа.

Предлагаю учащимся задание: построить треугольники.

1 вариант: треугольник АВС, угол А=43⁰, угол В=37⁰.

2 вариант: треугольник MNK, угол М=54⁰, угол N=76⁰.

3 вариант: треугольник LPE, угол L=65⁰, угол Р=25⁰.

После построения измерить третий угол, найти сумму углов треугольника, установить вид треугольника.

Задаю вопросы:

- назовите чему равна сумма углов в остроугольном треугольнике; тупоугольном; прямоугольном?

• зависит ли сумма углов треугольника от вида треугольника?

Результаты работы позволяют высказать гипотезу о том, что сумма углов треугольника равна 180 ⁰ .

Мотивация необходимости доказательства теоремы.

Как вы уже знаете, нельзя выполнить ни абсолютно точных построений, ни произвести абсолютно точного измерения. Поэтому правильнее было бы сказать: рассмотренные нами треугольники имеют сумму углов приблизительно равную 180 ⁰ . Но такое утверждение относится только к рассмотренным нами треугольником.

- Можем ли мы сказать это и о других треугольниках?

Работа над структурой теоремы

Предлагаю ответить на следующие вопросы:

1) какие треугольники использовались в процессе проведения измерений?

2. Что входит в условие теоремы?

3. Что мы обнаружили при измерении?

5. В чем состоит заключение теоремы?

6. Попробуйте сформулировать теорему о сумме углов треугольника.

А

Основной этап

Построение чертежа и краткая запись

теоремы

Предлагаю учащимся сделать рисунок и записать, что дано и что требуется доказать.

Поиск доказательства теоремы

Чтобы доказать теорему, развернем заключение (анализ).

- В каких утверждениях говорится об углах, сумма величин которых равна 180⁰?

- Попробуем для доказательства использовать первое утверждение. Для этого необходимо сделать дополнительное построение: провести параллельные прямые и секущую. Как это можно сделать?

- Проведем прямую через вершину В параллельную АС.

- Назовите образовавшиеся при этих прямых и секущей внутренние односторонние угла.

- Сумма каких углов будет равна 180⁰?

-Что можно сказать о величине угла ABD?

- Какого утверждения нам не хватает, чтобы доказать теорему?

- Какие это углы и можем ли мы сказать, что они равны?

В результате поиска доказательства

составляем план доказательства

1) Через одну из вершин треугольника провести прямую параллельную противолежащей стороне;

2) Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов;

3) Записать сумму внутренних односторонних углов и выразить ее через углы треугольника.

Доказательство и его запись

Работа над доказательством и его оформление проводится в ходе беседы с классом, в соответствии с ранее составленным планом. Доказательство записывается на доске учителем и в тетрадях учащимися.

Усвоение теоремы

Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства

Для усвоения формулировки теоремы предлагаю выполнить учебные задания:

а) сформулируйте теорему;

б) выделите условие и заключение теоремы;

в) к каким фигурам применима теорема?;

г) сформулируйте теорему со словами «если…, то…»;

д) из предложенных формулировок теорем выберите истинные:

«В треугольнике углы равны 180⁰»

«Сумма углов равна 180⁰ »

«Если дан треугольник, то сумма его углов равна 180⁰»

«В прямоугольнике сумма углов равна 180⁰»

«В треугольнике сумма равна 180⁰».

Для усвоения доказательства предлагаю вопросы:

1. На основании какого утверждения мы можем провести прямую ВD параллельную АС?

2. Почему углы DBC и АСВ – внутренние накрест лежащие, а углы ВАС и АВD – внутренние односторонние для прямых АС и ВD и секущей ВС?

3. На основании чего можем утверждать, что ВС- нутренний луч угла АВD?

4. Предлагаю доказать теорему по измененному чертежу: провести прямую СD параллельную АВ.

5. Для усвоения доказательства предлагаю карточки: заполнить пропуски.

Применение теоремы

1. Предлагаю решить задачи, которые являлись средством постановки проблемы для конкретных значений двух углов.

2. Могут ли два угла треугольника быть одновременно тупыми? Прямыми?

3. Может ли один из углов быть прямым, а другой тупым?

4. Какой вывод можно сделать о том, какие углы могут быть в треугольнике.

Предлагаю задания, для выполнения которых наряду с теоремой о сумме углов треугольника используется ранее изученный материал:

1) Найдите углы равностороннего треугольника.

2) Найдите углы, если известно их отношение.

3) Найдите углы равнобедренного треугольника, если известен один из углов.

Учащиеся выполняют построение в тетради; выполняют необходимые вычисления.

1 вариант: тупоугольный треугольник.

2 вариант: остроугольный треугольник.

3 вариант: прямоугольный треугольник.

– сумма углов равна 180⁰ (или приблизительно равна 180⁰).

– сумма углов треугольника не зависит от вида треугольника и равна 180⁰.

• Нет, не можем, так как их углы не измеряли.

Чтобы убедить в том, что сумма углов треугольника точно равна 180 ⁰ и при том для любых треугольников, нам нужно еще провести соответствующие рассуждения, т.е. доказать справедливость утверждения, подсказанного нам опытом.

• -остроугольный, прямоугольный и тупоугольный;

• -Нам дан треугольник. Произвольный.

• -Сумма углов равна приблизительно 180⁰.

• -Сумма углов треугольника равна 180⁰.

Сумма углов треугольника равна 180 ⁰ .

В D

Дано: ∆АВС.

.

С

Доказать: А + В+С=180⁰

• Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180⁰.

• Сумма смежных углов равна 180⁰.

- Через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, тогда одна из боковых сторон будет секущей.

• Углы DBA и BAC.

• Углов DBA и BAC.

- Его величина равна сумме углов ABC и CBD.

- Что  DBC = ACB.

- Это внутренние накрест лежащие углы, по свойству внутренних накрест лежащих углов мы можем сказать, что они равны.

Доказательство:

1. Дополнительное построение: BDIIAC.

2. D и A по разные стороны от прямой BC, углы DBC и ACB – внутренние накрест лежащие при прямых АС и BD и секущей ВС

(по определению).

3. DBC= ACB=С (по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей).

4. ABD= ABC + CBD = В + CBD (ВС – внутренний луч угла ABD).

5. ABD= В + С (утверждения 3 и 4).

6.  ВАС и АВD – внутренние односторонние углы при параллельных прямых ВD и АС и секущей ВС (по определению внутренних односторонних углов).

7. ВАС + АВD = 180⁰ (по свойству внутренних односторонних углов).

8. А+В+С=180⁰ (утверждения 5 и 7). Ч.т.д.

Отвечают на вопросы, обосновывают ответ.

• На основании аксиомы параллельных.

- По определению этих углов (формулируют определения).

- На основании построения и определения.

Утверждения Обоснования

(смотри доказательство)

А= 43⁰, В=56⁰. Найти угол С.

С= 180⁰ – (43⁰ + 56⁰)= 81⁰.

- Нет, так как в этом случае сумма углов будет больше 180⁰.

- Нет, так как сумма углов также будет больше 180⁰.

- У любого треугольника хотя бы два угла острые.

Решают у доски, оформляют решение.