I уровень

Основные понятия:

– координатные оси – Ох, Оу, Оz; начало координат – точка О;

– координатные плоскости – хОу, хОz, уОz;

– координаты точки – числа, равные по абсолютной величине длине отрезка от точки до соответствующей координатной плоскости, обозначение А (х, у, z);

– вектор – направленный отрезок;

– абсолютная величина вектора – длина отрезка;

– направление вектора; одинаково направленные векторы, противоположно направленные;

– равные векторы – одинаково направлены и равны по абсолютной величине, или имеют равные координаты;

– сумма векторов;

– произведение векторы на число;

– скалярное произведение векторов.

Способы определения вводимых понятий явные, с указанием характеристического свойства и конструктивные, используется аналогия.

Например, определение равных векторов:

Термин – равные векторы.

Род – векторы.

Видовые отличия: 1) векторы одинаково направлены; и 2) абсолютные величины (длины) векторов равны,

Все свойства соединены союзом «и», определение конъюнктивное.

Основные предложения темы:

– формулы расстояния между точками в пространстве:

А₁ (х_1, у_1, z₁), А₂ (х_2, у_2, z₂), А₁ А₂ ² = (х₂ – х₁)² ₊ (у₁ – у₂)² + (z₁ – z₂)² ;

– формулы координат середины отрезка:

точки А₁ (х_1, у_1, z₁), А₂ (х_2, у_2, z₂), отрезок А₁А₂, С (х, у, z) – середина отрезка;

– уравнение фигуры в пространстве; уравнение плоскости.

– свойства действий над векторами;

– формула нахождения косинуса угла между векторами.

II уровень. Виды теорем – теоремы – формулы; методы доказательства – используется прямое доказательство, алгебраический метод (тождественных преобразований), используются дополнительные построения. Ранее изученный материал представлен в табл. 4. (блок А).

III уровень. Результаты логико-математического анализа темы представлены в табл.12.

Таблица 12

Логико-математический анализ темы

«Декартовы координаты в пространстве»

Основные идеи и методы изучения: дедуктивное изучение темы, метод аналогии.

Например, теорема о том, что скалярное произведение двух векторов в пространстве равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними, доказывается, как и на плоскости с помощью векторных преобразований (аналогично).