Задание 3

Решение геометрической задачи с использованием общего приема решения («Объемы тел вращения») II уровень.

Задача: Площадь боковой поверхности конуса, радиус основания которого R, равна сумме площадей основания и осевого сечения. Найти объём конуса.

1) Изучение содержания задачи. Построение изображения.

Дано: конус, SO – высота, Окр. (О, ОА),

ОА=R, S_бок=S_осн+S_∆ASB.

Н

Рис. 4

2) Поиск решения. Задача на вычисление, поиск решения начинаем с формулы:

V=S_осн h, S_осн=πR², V=S_осн SO.

Надо найти SO: применим алгебраический метод.

3) Решение задачи (алгебраический метод).

I. Составление модели.

Пусть SO=h, тогда S_∆ASB = AB·h = ·2R·h = Rh.

S_бок = πR·SA; Из ∆SOA по теореме Пифагора найдём SA = ,

S_бок=πR.

Зная, что S_осн + S_∆ASB = S_бок , составим уравнение: πR=πR²+R h.

II. Решение модели: πR =πR² + R h,

π² (h² + R²) = π²R² + 2πR h + h² , (π²-1) h² - 2R h=0, h₁ = 0, h₂ = .

III. Формирование ответа на вопрос задачи.

По смыслу задачи h > 0, следовательно, h = , V = .

4) Исследование: В данном случае, процесс исследования можно опустить, предполагая, что R > 0. 5) Ответ: V = ..

6) Анализ и обобщение решения задачи. Задача решена алгебраическим методом, суть которого состоит в том, что искомая величина находится с помощью уравнения (или системы уравнений), составленного по условию задачи. При составлении уравнений используются различные геометрические факты, формулы, теоремы (в данной задаче использовалась формула площади полной поверхности конуса). При решении задачи для нахождения искомой величины нашли сначала вспомогательную неизвестную величину – высоту конуса.